Vektor

A. Definisi, Gambar, dan Notasi Vektor

Seperti telah disinggung sebelumnya, besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Dalam ilmu Fisika, banyak besaran yang termasuk vektor, di antaranya perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum. Selain besaran vektor, ada juga besaran yang hanya memiliki nilai. Besaran seperti ini disebut besaran skalar. Besaran yang termasuk besaran skalar, di antaranya massa, waktu, kuat arus, usaha, energi, dan suhu. Sebuah vektor digambarkan oleh sebuah anak panah. Panjang anak panah mewakili besar atau nilai vektor, sedangkan arah anak panah mewakili arah vektor. Notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua huruf dengan tanda panah di atasnya, misalnya 

atau. Akan tetapi, dalam buku ini, vektor digambarkan oleh sebuah huruf yang dicetak tebal dan miring, misalnya A atau B. Gambar 1. menunjukkan gambar beberapa vektor dengan notasinya. 

Gambar 1. Beberapa contoh gambar dan notasi vektor.

Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut ujung vektor. Besar sebuah vektor dapat ditulis dengan beberapa cara, di antaranya dengan memberi tanda mutlak (||) atau dicetak miring tanpa ditebalkan. Sebagai contoh, besar vektor A ditulis |A|atau A dan besar vektor B ditulis |B|atau B. Arah sebuah vektor dinyatakan oleh sudut tertentu terhadap arah acuan tertentu. Umumnya, sudut yang menyatakan arah sebuah vektor dinyatakan terhadap sumbu-x positif. Gambar 2. memperlihatkan tiga buah vektor A, B, dan C dengan arah masing-masing membentuk sudut 45°, 90°, dan 225° terhadap sumbu-x positif.

Gambar 2. Arah vektor dinyatakan oleh sudut yang dibentuknya terhadap sumbu positif.

B. Penjumlahan Vektor Menggunakan Metode Grafis dan Analitis

Pernahkah Anda membayangkan jika Anda berenang di sungai searah dengan aliran sungai, kemudian Anda tiba-tiba berbalik arah 90° dari arah pergerakan semula? Apakah posisi terakhir Anda tepat sesuai keinginan Anda? Tentu tidak, arah akhir posisi Anda tidak akan membentuk sudut 90° dari posisi semula karena terdapat hambatan arus sungai yang membuat arah gerak Anda tidak tepat atau menyimpang. Anda dapat menentukan posisi akhir Anda dengan cara menjumlahkan vektor gerak Anda, baik perpindahannya maupun kecepatannya. Apakah Anda mengetahui cara menjumlahkan dua buah vektor?

Penjumlahan vektor tidak sama dengan penjumlahan skalar. Hal ini karena vektor selain memiliki nilai, juga memiliki arah. Vektor yang diperoleh dari hasil penjumlahan beberapa vektor disebut vektor resultan.

Berikut ini akan dibahas metode-metode untuk menentukan vektor resultan.

1. Resultan Dua Vektor Sejajar

Misalnya, Anda bepergian mengelilingi kota Palu dengan mengendarai sepeda motor. Dua jam pertama, Anda bergerak lurus ke timur dan menempuh jarak sejauh 50 km. Setelah istirahat secukupnya, Anda kembali melanjutkan perjalanan lurus ke timur sejauh 30 km lagi. Di lihat dari posisi asal, Anda telah berpindah sejauh sejauh 50 km + 30 km = 80 km ke timur. Dikatakan, resultan perpindahan Anda adalah 80 km ke timur. Secara grafis, perpindahan Anda seperti diperlihatkan pada Gambar 3.

Gambar 3. Menjumlahkan dua vektor searah.

Sedikit berbeda dengan kasus tersebut, misalnya setelah menempuh jarak lurus 50 km ke timur, Anda kembali lagi ke barat sejauh 30 km. Relatif terhadap titik asal, perpindahan Anda menjadi 50 km – 30 km = 20 km ke timur. Secara grafis, perpindahan Anda diperlihatkan pada Gambar 4.

Gambar 4. Menjumlahkan dua vektor berlawanan arah.

Dari kedua contoh, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3. dan Gambar 4, menjumlahkan dua buah vektor sejajar mirip dengan menjumlahkan aljabar biasa. Secara matematis, resultan dua buah vektor sejajar, yakni, sebagai berikut. Jika vektor A dan B searah, besar vektor resultan R, adalah

R = |A+B|         (1-1)

dengan arah vektor R sama dengan arah vektor A dan B. Sebaliknya, jika kedua vektor tersebut berlawanan, besar resultannya adalah

R = |A-B|         (1-2)

dengan arah vektor R sama dengan arah vektor yang terbesar.

2. Resultan Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus

Misalnya, Anda memacu kendaraan Anda lurus ke timur sejauh 40 km dan kemudian berbelok tegak lurus menuju utara sejauh 30 km. Secara grafis, perpindahan Anda seperti diperlihatkan pada Gambar 5. 

Gambar 5. Menjumlahkan dua vektor yang saling tegak lurus.

Besar resultan perpindahannya, r, diperoleh menggunakan Dalil Pythagoras, yakni sebagai berikut :

dan arahnya

terhadap sumbu-x positif (atau 37° dari arah timur).

Dari contoh kasus tersebut, jika dua buah vektor, A dan B, yang saling tegak lurus akan menghasilkan vektor resultan, R, yang besarnya :

        (1-3)

dengan arah

     (1-4)

terhadap arah vektor A dengan catatan vektor B searah sumbu-y dan vektor A searah sumbu-x.

3. Resultan Dua Vektor yang Mengapit Sudut

Sekarang tinjau dua buah vektor, A dan B, yang satu sama lain mengapit sudut seperti yang diperlihatkan pada Gambar 6 (a). Gambar vektor resultannya dapat diperoleh dengan cara menempatkan pangkal vektor B di ujung vektor A. Selanjutnya, tarik garis dari titik pangkal vektor A ke titik ujung vektor B dan buatkan panah tepat di ujung yang berimpit dengan ujung vektor B. Vektor inilah, R, resultan dari vektor A dan B. Hasilnya seperti diperlihatkan pada Gambar 6 (b).

Gambar 6. (a) Vektor A dan vektor B mengapit sudut. (b) Menggambarkan vektor resultan dari vektor A dan vektor B.

Besar vektor resultan, R, dapat ditentukan secara analitis sebagai berikut.

Perhatikan Gambar 7. Vektor C dan D diberikan sebagai alat bantu sehingga vektor A + C tegak lurus vektor D dan ketiganya membentuk resultan yang sama dengan resultan dari vektor A dan B, yakni R.

Gambar 7. Menentukan besar resultan dua buah vektor secara analitis.

Dengan menggunakan Dalil Pythagoras, besarnya vektor resultan R adalah :

Selanjutnya, juga dengan menggunakan Dalil Pythagoras, dari gambar diperoleh :

C² + D² = B²

dan dari trigonometri,

Dengan memasukkan dua persamaan terakhir ke persamaan pertama, diperoleh besarnya vektor resultan R.

        (1-5)

4. Selisih Dua Vektor yang Mengapit Sudut

Vektor A dan vektor -A, memiliki besar yang sama, yakni |A| = |–A| = A, tetapi arahnya berlawanan seperti diperlihatkan pada Gambar 8. 

Gambar 8. Vektor A Negatif dari sebuah vektor A.

Selisih dari dua buah vektor, misalnya vektor A – B, secara grafis sama dengan jumlah antara vektor A dan vektor –B, seperti diperlihatkan pada Gambar 9. 

Gambar 9. Selisih dua buah vektor.

Secara matematis, vektor selisihnya ditulis R = A – B.

Secara analitis, besar vektor selisihnya ditentukan dari Persamaan (1–5) dengan mengganti θ dengan 180–θ. Oleh karena, cos (180° – θ ) = –cosθ sehingga diperoleh :

     (1-6)

Catatan Fisika :

cos (180 – θ ) = –cosθ. Hal ini dikarenakan cos (180 – θ) sama dengan cos(180) cosθ + sin (180) sin θ di mana nilai cos (180) = –1 dan nilai sin (180) = 0.Bagaimana jika cos (180 + θ )? Apakah sama dengan –cosθ ?

5. Melukis Resultan Beberapa Vektor dengan Metode Poligon

Jika terdapat tiga buah vektor, A, B, dan C, yang besar dan arahnya berbeda seperti diperlihatkan pada Gambar 10 (a), resultannya dapat diperoleh dengan cara menggunakan metode poligon, yakni sebagai berikut.

a. Hubungkan titik tangkap vektor B pada ujung vektor A dan titik pangkal vektor C pada ujung vektor B.

b. Buat vektor resultan, R, dengan titik tangkap sama dengan titik pangkal vektor A dan ujung panahnya tepat di titik ujung vektor C.

Hasilnya seperti diperlihatkan pada Gambar 10 (b).

Gambar 10. Menggambarkan resultan beberapa vektor dengan metode poligon.

Secara matematis, vektor resultan pada Gambar 10. ditulis sebagai berikut.

R = A + B + C

6. Vektor Nol

Vektor nol adalah vektor hasil penjumlahan beberapa buah vektor yang hasilnya nol. Sebagai contoh, lima buah vektor, A, B, C, D, dan E, menghasilkan resultan sama dengan nol maka secara matematis ditulis

A + B + C + D + E = 0

Dengan menggunakan metode poligon, secara grafis vektor-vektor tersebut diperlihatkan seperti pada Gambar 11. Perhatikan bahwa ujung vektor terakhir (vektor E) bertemu kembali dengan titik pangkal vektor pertama (vektor A).

Gambar 11. Penjumlahan lima buah vektor yang menghasilkan vektor nol.

Contoh Soal 1 :

Dua buah vektor satu sama lain membentuk sudut 60°. Besar kedua vektor tersebut sama, yakni 5 satuan. Tentukanlah :

a. resultan, dan

b. selisih kedua vektor tersebut.

Kunci Jawaban :

Misalnya, kedua vektor tersebut adalah A dan B. Besarnya, A = B = 5 dan sudutnya θ = 60°. Dengan menggunakan Persamaan (2–5) dan (2–6), diperoleh :

a. resultannya

b. selisihnya

C. Menjumlahkan Vektor dengan Metode Uraian

Dalam beberapa kasus, seringkali Anda menjumlahkan beberapa vektor yang lebih dari dua buah. Secara grafis, metode yang digunakan adalah metode poligon, seperti yang telah disinggung sebelumnya. Akan tetapi, bagaimanakah cara menentukan besar dan arah vektor resultannya? Salah satu metode yang digunakan adalah metode uraian, seperti yang akan di bahas pada sub-subbab berikut ini.

1. Menguraikan Vektor Menjadi Vektor Komponennya

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua buah vektor yang saling tegak lurus. Vektor-vektor baru hasil uraian disebut vektor-vektor komponen. Ketika sebuah vektor telah diuraikan menjadi vektor-vektor komponennya, vektor tersebut dianggap tidak ada karena telah diwakili oleh vektor-vektor komponennya. Sebagai contoh, ketika Anda menguraikan sekarung beras 50 kg menjadi dua karung dengan masing-masing 20 kg dan 30 kg, apakah karung yang berisi 50 kg tetap ada?

Gambar 12. Menguraikan sebuah vektor menjadi dua vektor komponen yang saling tegak lurus.

Gambar 12. memperlihatkan sebuah vektor A yang diuraikan menjadi dua buah vektor komponen, masing-masing berada pada sumbu-x dan sumbu-y. Ax adalah komponen vektor A pada sumbu-x dan Ay adalah komponen vektor A pada sumbu-y. Dengan mengingat definisi sin θ dan cos θ dari trigonometri, besar setiap komponen vektor A dapat ditulis sebagai berikut.

Ax = A cos θ dan Ay = A sinθ        (1-7)

Sementara itu, dengan menggunakan Dalil Pythagoras diperoleh hubungan :

        (1-8)

Selanjutnya, hubungan antara Ax dan Ay diberikan oleh :

        (1-9)

Contoh Soal 2 :

Sebuah vektor panjangnya 20 cm dan membentuk sudut 30° terhadap sumbu-x positif seperti diperlihatkan pada gambar.

Tentukanlah komponen-komponen vektor tersebut pada sumbu-x dan sumbu-y.

Kunci Jawaban :

Gunakan Persamaan (1–7) maka diperoleh :

A_x = Acos30^o

dan

A_y = Asin30^o

2. Menjumlahkan Vektor Melalui Vektor-Vektor Komponennya

Menjumlahkan sejumlah vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponennya ke sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat kartesius. Metode seperti ini disebut metode uraian.

Berikut adalah tahapan-tahapan untuk mencari besar dan arah vektor resultan dengan metode uraian.

a. Buat koordinat kartesius x-y.

b. Letakkan titik tangkap semua vektor pada titik asal (0,0). Hati-hati, arah vektor tidak boleh berubah.

c. Uraikan setiap vektor, yang tidak berimpit dengan sumbu-x atau sumbu-y, menjadi komponen-komponennya pada sumbu-x dan sumbu-y.

d. Tentukanlah resultan vektor-vektor komponen pada setiap sumbu,

misalnya :

x Σ_R = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-x.

y Σ_R = resultan vektor-vektor komponen pada sumbu-y.

e. Besar vektor resultannya 

          (1-10)

dan arahnya terhadap sumbu-x positif

          (1-11)

Contoh Soal 3 :

Tiga buah vektor gaya masing-masing besarnya F1 = 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N. Arah ketiga vektor tersebut ditunjukkan pada gambar. Tentukanlah resultan ketiga vektor tersebut (besar dan arahnya).

Kunci Jawaban :

Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 30 N, dan F3 = 20 N.

Uraian setiap vektor pada sumbu-x dan sumbu-y, seperti diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Besar komponen-komponen setiap vektornya adalah:

F_1x = F₁ cos 37° = 10 N × 0,8 = 8 N

F_1y = F₁ sin 37° = 10 N × 0,6 = 6 N

F_2x = F₂ cos 53° = 30 N × 0,6 = 18 N

F_2x = F₂ sin 53° = 30 N × 0,8 = 24 N

F_3x = F₃ sin 37° = 20 N × 0,6 = 12 N

F_3x = F₃ cos 37° = 20 N × 0,8 = 16 N

Resultan pada sumbu-x dan sumbu-y masing-masing:

ΣR_x = F_1x – F_2x – F^3x = 8 – 18 – 12 = –22 N

ΣR_y = F_1y – F_2y – F_3y = 6 + 24 – 12 = 18 N

Dengan demikian, besar resultan ketiga vektor tersebut adalah :

dan arahnya terhadap sumbu-x positif

Contoh Soal 4 :

Ditentukan dua buah vektor yang sama besarnya, yaitu F. Bila perbandingan antara besar jumlah dan selisih kedua vektor sama dengan 3 maka sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut adalah ....

a. 30° 

b. 37° 

c. 45°

d. 60°

e. 120°

Kunci Jawaban :

Diketahui dua buah vektor besarnya = F

Besar jumlah vektor adalah :

Besar selisih kedua vektor adalah :

Jika perbandingan nilai R1 dan R2 adalah  maka sudut θ dapat dihitung sebagai berikut :

2F² + 2F² cosθ = 6F² – 6F² cosθ

8F² cosθ = 4F²

cosθ = 1/2

θ = 60°

Jawab: d

Contoh Soal 5 :

Tiga vektor masing-masing F1 = 10 N, F2 = 16 N, dan F3 = 12 N, disusun seperti pada gambar. Jika α = 37°, besar resultan ketiga vektor adalah ....

a. 5 N
b. 8 N
c. 10 N
d. 12 N
e. 18 N

Kunci Jawaban :

Diketahui: F1 = 10 N, F2 = 16 N, dan F3 = 12 N.

Besar komponen pada sumbu- F1 = F1 cosα = 10 cos 37° = 8 N
F2 = 16 N
F3 = 0 N

Besar komponen pada sumbu- F1 = F1 sinα = 10 sin 37° = 6 N
F2 = 0 N
F3 = 12 N

ΣF = 8 – 16 + 0 = 8

ΣF = 6 + 0 – 12  = – 6



Jawab: c 

Rangkuman :

1. Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai saja (contoh: jarak, laju, luas, volume, suhu, dan energi).
2. Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. (contoh: perpindahan, kecepatan, percepatan, dan gaya).
3. Notasi atau simbol sebuah vektor dapat menggunakan satu atau dua huruf dengan tanda panah di atasnya atau dengan dicetak tebal.
4. Penjumlahan vektor dapat menggunakan metode grafis, analitis, poligon, dan ukuran.
5. Jika dua buah vektor membentuk sudut α , resultan dan selisih keduanya dapat dihitung dengan persamaan: