Nilai Mutlak

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan$$\left|x\right|=\{\begin{array}{c}-xjikax\ge 0\\ -xjikax<0\end{array}$$atau dapat pula ditulis
| x | = -x    jika x ≥ 0
| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,
| 7 | = 7      | 0 | = 0      | -4 | = -(-4) = 4
Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Persamaan $\sqrt{x^2}=x$ hanya bernilai benar jika x ≥ 0. Untuk x < 0, maka $\sqrt{x^2}=-x$. Dapat kita tulis$$\sqrt{x^2}=\{\begin{array}{c}-xjikax\ge 0\\ -xjikax<0\end{array}$$Jika kita perhatikan, bentuk diatas sama persis dengan definisi nilai mutlak x. Oleh karenanya, pernyataan berikut benar untuk setiap x bilangan real.$$|x|=\sqrt{x^2}$$Jika kedua ruas persamaan diatas kita kuadratkan akan diperoleh$$|x{|}^2=x^2$$Persamaan terakhir ini merupakan konsep dasar penyelesaian persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas. Seperti yang kita lihat, tanda mutlak bisa hilang jika dikuadratkan.

Namun, pada artikel ini kita akan lebih fokus pada bentuk linier, baik dari kasus ataupun solusi, tanpa melibatkan bentuk kuadrat.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

| x | > a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :

SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a.  | x | = a  ⇔  x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a  ⇔  -a < x < a
c.  | x | > a  ⇔  x < -a  atau  x > a


Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 7| = 3  ⇔  2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x - 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.


Contoh 2
Tentukan HP dari |2x - 1| = |x + 4|

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x - 1| = |x + 4|

⇔  2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)
⇔  x = 5  atau  3x = -3
⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.


Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x - 1| < 7  ⇔  -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}.


Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.


Contoh 5
Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|3x - 2| ≥ |2x + 7| 
⇔  3x - 2 ≤ -(2x + 7)  atau  3x - 2 ≥ 2x + 7
⇔  5x ≤ -5  atau  x ≥ 9
⇔  x ≤ -1  atau  x ≥ 9

Jadi, HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}


Contoh 6
Tentukan HP dari 2 < |x - 1| < 4

Jawab :
Ingat : a < x < b  ⇔  x > a  dan  x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan
|x - 1| > 2  dan  |x - 1| < 4

Berdasarkan sifat c :
|x - 1| > 2  ⇔  x - 1 < -2  atau  x - 1 > 2
|x - 1| > 2  ⇔  x < -1  atau  x > 3   ................(1)

Berdasarkan sifat b :
|x - 1| < 4  ⇔  -4 < x - 1 < 4
|x - 1| < 4  ⇔  -3 < x < 5   ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut

Jadi, HP = {-3 < x < -1  atau  3 < x < 5}

Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi
|ax + b| = ax + b       jika x ≥ -b/a
|ax + b| = -(ax + b)   jika x < -b/a

Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut.

Contoh 7
Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :
a.  |4x - 3|
b.  |2x + 8|

Jawab :
a.  Untuk |4x - 3|
     |4x - 3| = 4x - 3       jika  x ≥ 3/4
     |4x - 3| = -(4x - 3)   jika  x < 3/4

b.  Untuk  |2x + 8|
     |2x + 8| = 2x + 8       jika  x ≥ -4
     |2x + 8| = -(2x + 8)   jika  x < -4


Contoh 8
Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah...

Jawab :
|x - 2| = x - 2       jika  x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2)   jika  x < 2

Untuk x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x = 3
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi

Untuk x < 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -(x - 2) = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = 1/3
Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.


Contoh 9
Tentukan HP dari |x + 1| > 2x - 4

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

Untuk x ≥ -1
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x + 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x > -5
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 5
Irisan dari x ≥ -1 dan x < 5 adalah -1 ≤ x < 5   

Untuk x < -1
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -(x + 1) > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x - 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -3x > -3
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 1
Irisan dari x < -1 dan x < 1 adalah x < -1   

Jadi, HP = {x < -1  atau  -1 ≤ x < 5}
Jadi, HP = {x < 5}


Contoh 10
Nyatakan |x - 4| + |2x + 6| tanpa menggunakan simbol nilai mutlak

Jawab :
|x - 4| = x - 4 jika x ≥ 4
|x - 4| = -(x - 4) jika x < 4

|2x + 6| = 2x + 6 jika x ≥ -3
|2x + 6| = -(2x + 6) jika x < -3

Jika interval-interval diatas digambarkan pada garis bilangan akan diperoleh

Untuk x < -3
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) - (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 - 2x - 6
|x - 4| + |2x + 6| = -3x - 2

Untuk -3 ≤ x < 4
|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = x + 10

Untuk x ≥ 4
|x - 4| + |2x + 6| = (x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = x - 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = 3x + 2

Dari uraian diatas, kita simpulkan
$|x-4|+|2x+6|=\{\begin{array}{c}-3x-2jikax<-3\\ -x+10jika-3\le x<4\\ -3x+2jikax\ge 4\end{array}$ 


Contoh 11
Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan
|x + 1| + |2x - 4| = 9

Jawab :
|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

|2x - 4| = 2x - 4       jika  x ≥ 2
|2x - 4| = -(2x - 4)   jika  x < 2

Untuk x < -1
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -(x + 1) - (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -x - 1 - 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -3x = 6
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = -2
karena x < -1, maka x = -2 memenuhi.

Untuk -1 ≤ x < 2
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  (x + 1) - (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x + 1 - 2x + 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -x = 4
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = -4
karena -1 ≤ x < 2, maka x = -4 tidak memenuhi.

Untuk x ≥ 2 
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  (x + 1) + (2x - 4) = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x + 1 + 2x - 4 = 9
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  3x = 12
|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = 4
karena x ≥ 2, maka x = 4 memenuhi.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = -2  atau  x = 4.


Contoh 12
Tentukan HP dari |x - 1| + |x + 2| ≥ 4

Jawab :
|x - 1| = x - 1       jika  x ≥ 1
|x - 1| = -(x - 1)   jika  x < 1

|x + 2| = x + 2       jika  x ≥ -2
|x + 2| = -(x + 2)   jika  x < -2

Untuk x < -2  
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -(x - 1) - (x + 2) ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -x + 1 - x - 2  ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -2x ≥ 5
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  x ≤ -5/2
Irisan dari x < -2 dan x ≤ -5/2 adalah x ≤ -5/2

Untuk -2 ≤ x < 1
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -(x - 1) + (x + 2) ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -x + 1 + x + 2 ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  3 ≥ 4  (bukan penyelesaian)

Untuk x ≥ 1  
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  (x - 1) + (x + 2) ≥ 4
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  2x ≥ 3
|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  x ≥ 3/2
Irisan dari x ≥ 1 dan x ≥ 3/2 adalah x ≥ 3/2

Jadi, HP = {x ≤ -5/2  atau  x ≥ 3/2}


Contoh 13
Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, tunjukkan bahwa untuk setiap x bilangan real dengan a > 0 berlaku | x | < a  ⇔  -a < x < a.

Jawab :
Untuk x ≥ 0 maka | x | = x, akibatnya
| x | < a  ⇔  x < a
Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah
0 ≤ x < a

Jadi, untuk x ≥ 0 dan a > 0 berlaku
| x | < a  ⇔  0 ≤ x < a   .................................(1)

Untuk x < 0 maka | x | = -x, akibatnya
| x | < a  ⇔  -x < a
| x | < a  ⇔  x > -a
Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah
  -a < x < 0

Jadi, untuk x < 0 dan a > 0 berlaku
| x | < a  ⇔  -a < x < 0   ................................(2)

Dari (1) dan (2) kita simpulkan
Untuk setiap x bilangan real dan a > 0 berlaku
| x | < a  ⇔  -a < x < 0  atau  0 ≤ x < a
| x | < a  ⇔  -a < x < a